Problemy nieefektywności w transporcie miejskim

3.2. Ogólny wielomianowy model logitowy

W ogólności rozważać będziemy wybór nie spośród dwóch, ale dowolnej liczby alternatyw. Prawdopodobieństwo wyboru alternatywy i oznaczamy jako P_i.



Jeżeli wszystkie współczynniki błędu  są niezależne i o tym samym rozkładzie Gumbela, to otrzymujemy wielomianowy model logitowy. Prawdopodobieństwo P_i można wtedy zapisać w postaci:



Możemy teraz w naszym modelu określić miarę renty konsumenta – będzie ona równa oczekiwanej użyteczności z wybranej alternatywy. Wybierana alternatywa jest optymalna, czyli przypisana jest jej najwyższa użyteczność. Zatem:



Renta konsumenta jest więc rosnącą funkcją mierzalnej użyteczności każdej z alternatyw (czyli również tych, które nie zostaną w końcu wybrane). Jej pochodna po użyteczności Vi wynosi: ∂C_S/∂V_i = P_i, zatem jest równa prawdopodobieństwu wyboru alternatywy i. Zgadza się to z intuicją, że „zwiększenie użyteczności” (np. przez częstsze kursy) już atrakcyjnych środków transportu przyniesie użytkownikowi najwięcej korzyści, gdyż te najczęściej są przez niego wybierane.

3.3. Zagnieżdżony model logitowy

Sformułowana powyżej wersja modelu logit posiada pewną niekorzystną własność – mianowicie prawdopodobieństwa wyboru alternatyw są niezależne od zbioru A. Nierealność tej własności zilustrujemy na przykładzie.

Załóżmy, że podróżujący mają do wyboru dwa środki transportu – samochód lub autobus. Obu rodzajom transportu przypisujemy taką samą mierzalną użyteczność, V0 = V1 = V, w związku z czym P0 = P1 = 1/2. Załóżmy dalej, że połowa z autobusów zostaje przemalowana na zielono, a reszta pozostaje czerwona. Zielone i czerwone autobusy zapewnią taką samą użyteczność (o ile użytkownicy nie dbają o kolor), ale potraktowanie ich jako różnych rodzajów transportu sprawi, że będziemy mieli trzy alternatywy w miejsce dotychczasowych dwóch. Prawdopodobieństwa wyboru poszczególnych alternatyw będą wynosić 1/3 zamiast 1/2. Zatem samo przemalowanie połowy autobusów prowadzi do spadku użytkowania samochodów i zwiększonego korzystania z autobusów (w sumie 2/3). Co więcej, zwiększy się również renta konsumenta. W wyjściowej sytuacji wynosiła ona:



a po przemalowaniu autobusów:



Oczywiście tak dalekie implikacje kosmetycznej zmiany wyglądu środka transportu są całkowicie nierealistyczne. Korzystanie z samochodów i autobusów w sumie powinno pozostać na poziomie 1/2, zaś korzystanie z zielonych lub czerwonych autobusów – na poziomie 1/4. Upragnioną sytuację pozwala uzyskać zagnieżdżony model logitowy. Z jego pomocą możemy uniknąć powyższego problemu, zmieniając strukturę drzewa decyzyjnego użytkownika.

Rysunek 3.1. Struktura drzewa decyzyjnego w modelu ogólnym i zagnieżdźonym - Źródło: R. Arnott i D. McMillen, A Companion …, op. cit., s. 268.

Wyboru dokonujemy w dwóch etapach, tak jak to ilustruje rysunek 3.1.b – najpierw wybieramy między autobusem a samochodem, a w razie wyboru autobusu decydujemy o kolorze12.