Problemy nieefektywności w transporcie miejskim
1.3. Optymalne ceny i pojemność, możliwość zakłóceń w innych sektorach gospodarki
Wyznaczenie maksimum renty społecznej może być sformułowane jako problem maksymalizacji dobrobytu społecznego przy quasi-liniowej funkcji użyteczności o postaci: U(z,Q) = z + u(Q), gdzie z jest kompozytowym dobrem konsumpcyjnym. Ta forma funkcyjna implikuje pominięcie efektów dochodowych, ale – jak pokazali Willig (1976) oraz Kanemoto i Mera (1985) – jej użycie jest uzasadnione, gdyż ewentualne różnice są pomijalne9. Użycie quasi-liniowej formy funkcyjnej uzasadnia też sumowanie indywidualnych użyteczności, by uzyskać rentę konsumenta10.
Ograniczenie budżetowe konsumenta można sformułować w postaci Y = z + pQ + T, gdzie Y to dochód, a T – podatek ryczałtowy mający sfinansować deficyt sektora transportowego. Zauważmy, że w modelu milcząco zakłada się niezależność T i Q w problemie pojedynczego konsumenta, tzn. nie bierze się pod uwagę faktu, że deficyt powstały w wyniku jego działań „wróci” w postaci podatku. Jednak w przypadku wysokiej liczby konsumentów ten deficyt rozkłada się na wszystkich – zatem „wraca” do wywołującego w pomijalnym zakresie. Możemy zatem zapisać:
i sformułować warunki pierwszego rzędu:
Wynika stąd, że krańcowa użyteczność u’(Q) ma być równa cenie p. Zauważmy, że ta równość przedstawia odwrotność zwykłej funkcji popytu Q = D(p).
Bez straty ogólności możemy założyć u(0) = 0. Wówczas korzyść społeczna jako obszar pod funkcją popytu wyniesie:
<
br>
Podatek T ma sfinansować deficyt w sektorze transportowym – jest zatem równy różnicy kosztów społecznych i przychodów:
Podstawiając powyższe równanie do ograniczenia budżetowego konsumenta, otrzymamy:
Podstawmy tę zależność do funkcji użyteczności U(z,Q) = z + u(Q):
Sformułowaną w ten sposób funkcję użyteczności nazywamy funkcją dobrobytu SW. Jej maksymalizacja po Q daje nam jako warunek pierwszego rzędu:
tzn. użyteczność krańcowa ma być równa kosztowi krańcowemu. Warunek maksymalizacji użyteczności konsumenta wymaga, by krańcowa użyteczność była równa cenie:
gdzie pFB to cena optymalna. Ten warunek optymalności potwierdza i uogólnia spostrzeżenie poczynione w podanym wcześniej przykładzie.
Maksymalizacja funkcji dobrobytu po K daje nam równość:
Lewa strona powyższego równania odpowiada pomniejszeniu zmiennych kosztów społecznych w związku z krańcowym zwiększeniem pojemności. Prawa zaś to krańcowy koszt zwiększenia pojemności. Optymalność wymaga, by te dwie wielkości były sobie równe.
Wyznaczenie maksimum renty społecznej może być sformułowane jako problem maksymalizacji dobrobytu społecznego przy quasi-liniowej funkcji użyteczności o postaci: U(z,Q) = z + u(Q), gdzie z jest kompozytowym dobrem konsumpcyjnym. Ta forma funkcyjna implikuje pominięcie efektów dochodowych, ale – jak pokazali Willig (1976) oraz Kanemoto i Mera (1985) – jej użycie jest uzasadnione, gdyż ewentualne różnice są pomijalne9. Użycie quasi-liniowej formy funkcyjnej uzasadnia też sumowanie indywidualnych użyteczności, by uzyskać rentę konsumenta10.
Ograniczenie budżetowe konsumenta można sformułować w postaci Y = z + pQ + T, gdzie Y to dochód, a T – podatek ryczałtowy mający sfinansować deficyt sektora transportowego. Zauważmy, że w modelu milcząco zakłada się niezależność T i Q w problemie pojedynczego konsumenta, tzn. nie bierze się pod uwagę faktu, że deficyt powstały w wyniku jego działań „wróci” w postaci podatku. Jednak w przypadku wysokiej liczby konsumentów ten deficyt rozkłada się na wszystkich – zatem „wraca” do wywołującego w pomijalnym zakresie. Możemy zatem zapisać:
i sformułować warunki pierwszego rzędu:
Wynika stąd, że krańcowa użyteczność u’(Q) ma być równa cenie p. Zauważmy, że ta równość przedstawia odwrotność zwykłej funkcji popytu Q = D(p).
Bez straty ogólności możemy założyć u(0) = 0. Wówczas korzyść społeczna jako obszar pod funkcją popytu wyniesie:
Podatek T ma sfinansować deficyt w sektorze transportowym – jest zatem równy różnicy kosztów społecznych i przychodów:
Podstawiając powyższe równanie do ograniczenia budżetowego konsumenta, otrzymamy:
Podstawmy tę zależność do funkcji użyteczności U(z,Q) = z + u(Q):
Sformułowaną w ten sposób funkcję użyteczności nazywamy funkcją dobrobytu SW. Jej maksymalizacja po Q daje nam jako warunek pierwszego rzędu:
tzn. użyteczność krańcowa ma być równa kosztowi krańcowemu. Warunek maksymalizacji użyteczności konsumenta wymaga, by krańcowa użyteczność była równa cenie:
gdzie pFB to cena optymalna. Ten warunek optymalności potwierdza i uogólnia spostrzeżenie poczynione w podanym wcześniej przykładzie.
Maksymalizacja funkcji dobrobytu po K daje nam równość:
Lewa strona powyższego równania odpowiada pomniejszeniu zmiennych kosztów społecznych w związku z krańcowym zwiększeniem pojemności. Prawa zaś to krańcowy koszt zwiększenia pojemności. Optymalność wymaga, by te dwie wielkości były sobie równe.
9. Za: Y. Kidokoro, Cost-Benefit Analysis for Transport Networks – Theory and Application, 2004, s. 7, publikacja dostępna na stronie: http://www.csis.u-tokyo.ac.jp/dp/61.pdf
10. Ibidem.